一个经典期望问题的分治想法

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  • 问题： 在一条长度为1的线段上随机撒两个点\(A\),\(B\), 求线段\(AB\)的期望长度

  • 解：设在一条长度为1的线段上随机撒的两个点\(A\),\(B\)所截得的线段期望长度为\(x\)

    ​ 然后将这条长度为1的线段均分成左右两段：

    • 若\(A,B\)两点都在左半部分，那么发生这种情况的概率为0.25，期望长度为\(\frac 12 x\)

    • 若\(A,B\)两点都在右半部分，那么发生这种情况的概率为0.25，期望长度为\(\frac 12 x\)

    • 若\(A,B\)两点横跨线段中点，那么发生这种情况的概率为0.5

      ​ 设线段中点为\(M\)，那么\(E(|AB|) = E(|AM|) + E(|MB|)\) \(= 0.25 + 0.25 = 0.5\)

      ​ 所以这种情况下期望长度为0.5

    所以，根据期望的定义，我们可以得到$x = 0.25 x + 0.25 $ \(\frac 12 x + 0.5\times 0.5\)

    解得：\(x = \frac 13\)