关于$x^y$和$y^x$的大小判断问题的一点思考

关于$x^y$和$y^x$的大小判断问题的一点思考

不妨令$x < y$。

则设$x = a,y = a + b,(a > 0,b > 0)$。
$$
a^{a + b} > (a + b)^a
$$
$$
\Leftrightarrow a > (a + b) ^ {\frac a {a + b}}
$$
$$
\Leftrightarrow a > (a + b) ^ {(1 - \frac b{a + b})}
$$
$$
\Leftrightarrow a > (a + b) / ((a+b)^{\frac b{a + b}})
$$

$$
\Leftrightarrow (a+b)^{\frac b{a + b}} > (1 + \frac ba)
$$

$$
\Leftrightarrow a + b > (1 + \frac ba) ^ {\frac {a + b}b}
$$

$$
\Leftrightarrow a + b > (1 + \frac ba) ^ \frac ab \times \frac{a + b}{a}
$$

$$
\Leftrightarrow a > (1 + \frac ba) ^ \frac ab
$$

接下来对$a$,$b$进行分类讨论：

• $a > b$。则$(1 + \frac ba) ^ \frac ab < e$，所以$a$只要大于$e$，那么$x^y > y^x$.若$a <= 2$，那么$x^y < y^x$.

• $a = b$。则$(1 + \frac ba) ^ \frac ab = 2$,$a$只要大于2，$x^y > y^x$.

• $a < b$。则$(1 + \frac ba) ^ \frac ab = (1 + k)^\frac 1k ,(k > 1)$,此时易证$(1 + k)^\frac 1k < 2 ,(k > 1)$。

  反证法证明该结论：设$(1 + k)^\frac 1k = v (v \ge 2)$,则$v^k = 1 + k$。当$v = 2,k = 1时$,$v^1 = 2 = 1 + k$，而指数函数增长迅速，所以当$v = 2,k > 1$时，$v^k > 1 + k$。而$v \ge 2$,所以$v^k > 2^k > 1 + k$，两者不可能相等。

  所以此时只要$a \ge 2$，即可保证$x^y > y^x$.