初学微分の笔记

微分总结

1.极限，导数，连续性，可导性

$$
\lim_{x \to a}f(x) = L
$$

$\hspace{1cm}$这个式子叫做函数$f$在$a$处的双侧极限，表示对于任意的$\varphi>0$，可以选取对应的$\beta > 0$，使得对于所有满足$0 < |x - a| < \beta$的$x$，都有$|f(x) - L| < \varphi$.

$\hspace{1cm}$除了双侧极限，我们还有左侧极限和右侧极限。
$$
\lim_{x \to a^-}f(x) = L
$$

$\hspace{1cm}$这个式子叫做函数$f$在$a$处的左侧极限，表示对于任意的$\varphi>0$，可以选取对应的$\beta > 0$，使得对于所有满足$0 < a - x < \beta$的$x$，都有$|f(x) - L| < \varphi$.

同时：
$$
\lim_{x \to a^+}f(x) = L
$$

$\hspace{1cm}$这个式子叫做函数$f$在$a$处的右侧极限，表示对于任意的$\varphi>0$，可以选取对应的$\beta > 0$，使得对于所有满足$0 < x - a < \beta$的$x$，都有$|f(x) - L| < \varphi$.

$\hspace{1cm}$极限不一定存在，比如$f(x) = sin(\frac1x)$在$x = 0$处就没有极限。

• 三明治定理：

  如果对于所有在$a$附近的$x$都满足$g(x) \le f(x) \le h(x)$，且

  $$

\lim_{x \to a}g(x) = L = \lim_{x \to a}h(x)
$$

$\hspace{1cm}$那么有
$$
\lim_{x \to a}f(x) = L
$$

• 连续性

  若$x$在函数$f$的定义域内，函数$f$在$x$处存在双侧极限，且双侧极限等于$f(x)$，则函数$f$在$x$处连续。

• 导数

  函数$f$在$x$处的导数$f’(x)$定义为：
  $$
  f’(x) = \lim_{h\to x}\frac{f’(x + h) - f’(x)}{h}
  $$
  同时我们也可以用$\frac{dy}{dx}$来表示函数$f$在$x$处的导数。其中$dx$表示$x$变化很小一个范围，$dy$表示此时$y$对应的变化量。

• 可导性

  函数$f$在$x$处可导，当且仅当函数$f$在$x$处连续，且函数$f$在$x$处的“左导数”和“右导数”相等，其中：
  $$
  左导数= \lim_{h \to x ^-} \frac{f’(x + h) - f’(x)}{h}
  $$

  $$
  右导数 = \lim_{h \to x^+}\frac{f’(x + h) - f’(x)}{h}
  $$

2.用更好的方法求导

• 加/减法法则：

  若$f(x) = g(x) \pm h(x)$，则$f’(x) = g’(x) \pm h’(x)$

• 乘法法则：
  $$
  \frac{d}{dx}(uv) = \frac{du}{dx}v + \frac{dv}{dx}u
  $$

• 乘积法则的推广
  $$
  \frac{d}{dx}(uvw) = \frac{du}{dx}vw + \frac{dv}{dx}uw + \frac{dw}{dx}uv
  $$

• 除法法则：

  若$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，则有：
  $$
  f’(x) = \frac{g’(x)h(x) - g(x)h’(x)}{(h(x))^2}
  $$

• 链式求导法则：

  若$u$是$v$的函数，$v$是$s$的函数，则有：
  $$
  \frac{du}{ds} = \frac{du}{dv}\frac{dv}{ds}
  $$

3.三角函数的导数与极限

$\hspace{1cm}$首先有一个基本的定理（这里暂且不证）：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1
$$
$\hspace{1cm}$然后先看一个极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{cos(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{cos^2(x) - 1}{x \cdot (cos(x) + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-sin^2(x)}{x \cdot (cos(x) + 1)} \= \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}x \times (-sin(x)) \times\frac{1}{cos(x) + 1} = (1) \times (0)\times (\frac12) = 0
$$

$\hspace{1cm}$接下来求$f(x) = sin(x)$的导数：
$$
f’(x) = \lim_{h \to x} \frac{sin(x + h) - sin(x)}{h} = \lim_{h \to x} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h} \ = \lim_{h \to x} \frac{sin(x) \cdot (cos(h) - 1)}h + \lim_{h \to x}\frac{sin(h)}h \cdot cos(x) \=\lim_{h\to x}\frac{cos(x) - 1}{h} \times sin(x ) + (1)\cdot cos(x) = (0 )\times sin(x) + cos(x) \times(1) = cos(x)
$$
$\hspace{1cm}$同理，我们可以得到$f(x) = cos(x)$的导数：
$$
f’(x) = -\sin(x)
$$
$\hspace{1cm}$根据这两个公式，我们可以通过乘积法则和除法法则求出$f(x) = tan(x)，f(x) = csc(x)$,$f(x) = sec(x),f(x) = cot(x)$的导数.
$$
\frac d{dx}(tan(x)) = sec^2(x)\\frac d{dx}(sec(x)) = sec(x)tan(x)\ \frac d{dx}(csc(x)) = -csc(x)cot(x) \ \frac{d}{dx}(cot(x)) = -csc^2(x)
$$

4.关于e

$\hspace{1cm}$自然常数$e$的定义：
$$
e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac1n)^n
$$
$\hspace{1cm}$这样做会有一个风险，那就是这个极限不一定存在。现在我们暂且不管。

$\hspace{1cm}$对于$e$的收敛性证明，我们证一个$e \le 4$即可。即我们尝试证明：
$$
(1 + \frac1n)^n \le 4
$$
$\hspace{1cm}$即要证明：
$$
\sqrt[n]{\frac14} \leq \frac{n}{n + 1}
$$
$\hspace{1cm}$根据均值不等式，我们有
$$
\sqrt[n]{\frac14} = \sqrt[n]{\frac12 \times \frac{1}{2} \times 1^{n - 2}} \le \frac{n - 1}n \le \frac n{n + 1}
$$
$\hspace{1cm}$因此得证$e \le 4$.

​

$\hspace{1cm}$然后我们来求一个极限：
$$
\lim {n \to \infty}(1 + \frac rn)^n
$$
$\hspace{1cm}$令$k = \frac nr$，则$n = rk$，所以有：
$$
\lim {n \to \infty}(1 + \frac rn)^n = \lim{n \to \infty} (1 + \frac1k)^{rk} = \lim{n \to \infty}((1 + \frac1k)^k)^r = e^r
$$

5.对数函数和指数函数的导数

$\hspace{1cm}$先来求对数函数的导数，设$f(x) = \log_bx$，则有：
$$
f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_bx} h = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(\frac{x + h}{x})}h = \lim_{h \to 0}\log_b(1 + \frac hx) ^ \frac1h = \lim_{h \to \infty} \log_b(1 + \frac 1h \times \frac1x )^h = \log_b e^\frac1x = \frac{1}{x \times ln(b)}
$$

$\hspace{1cm}$再来看指数函数的导数。设$y = b^x$，则$x = \log_by$，所以
$$
\frac{dx}{dy} = \frac1{y \times ln(b)}
$$
$\hspace{1cm}$则：
$$
\frac{dy}{dx} = yln(b) = b^xln(b)
$$

6.对$y = f(x)^{g(x)}$求导

$\hspace{1cm}$一个例子胜千言。比如我们现在要对$y = x^x$求导。

$\hspace{1cm}$有：
$$
ln(y) = xln(x) \ \frac d{dx} ln(y) = \frac d{dx} (x ln(x)) \ \frac d{dy}(ln(y)) \times \frac{dy}{dx} = ln(x) + 1 \ \frac1y \times \frac{dy}{dx} = ln(x) + 1 \ \frac{dy}{dx} = (ln(x) + 1) \times x^x
$$
$\hspace{1cm}$我们再举一个例子，这个例子推出的结论也是很重要的一个结论。我们现在要求$y = x^a$的导数。

$\hspace{1cm}$有：
$$
ln(y) = aln(x) \ \frac d{dx}(ln(y)) = \frac {d}{dx}(aln(x)) \ \frac d{dy}(ln(y)) \times \frac{dy}{dx} = \frac ax \ \frac{dy}{dx} = \frac ax \times y = \frac ax \times x^a = ax^{a - 1}
$$

7.指数增长和指数衰变

• 指数增长

$\hspace{1cm}$假设$y = Ae^{kx}$，则$\frac{dy}{dx} = Ake^{kx}$。这说明该函数的增长速度和函数值成正比。

$\hspace{1cm}$这很符合现实中的一些情况。一个生物种群，它扩张繁殖的速度和这个生物种群内生物的多少成正比。

$\hspace{1cm}$让我们来解决一个问题。一个兔子种群现在有1000只兔子，而3年后增长到64000只，那么4年后会有多少兔子呢？

$\hspace{1cm}$设$f(x)$表示兔子种群在第$x$年有$f(x)$只兔子，那么我们有$f(0) = 1000$,$f(3) = 64000$.

$\hspace{1cm}$根据指数增长的原则，我们设$f(x) = Ae^{kx}$,则$f(0) = Ae^0$,则$A = f(0)$.

$\hspace{1cm}$所以我们有$f(x) = f(0)e^{kx} = 1000e^{kx}$,则$f(3) = 1000e^{3k} = 64000$，所以$e^{3k} = 64$，$3k = ln(64)$，$k = \frac{ln(64)}3 = \ln(4)$，所以$f(x) = 1000e^{\ln(4)x}$。将$x = 4$代入，有$f(4) = 1000e^{\ln(4) \times 4} = 1000e ^ {\ln(256)} = 256000 $.所以4年后有256000只兔子。

$\hspace{1cm}$同时我们也可以得到，一般对于这种建模，我们都有$f(t) = f(0)e^{kt}$，

$\hspace{1cm}$可以从上述例子中看出，指数函数增长得很快。所以我们推测出一下定理（可用洛必达法则证明）：
$$
\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{b^x} = 0,其中f(x)是关于x的多项式，b > 1
$$

• 指数衰减

$\hspace{1cm}$指数衰减适用于给原子衰变建模。因为原子越多，其衰变速度越快。换句话说，衰变速度与原子个数成正比。

$\hspace{1cm}$现在假设你有一瓶铀—235，它的半衰期是7年，也就是说过7年你打开这个瓶子，你会发现这个瓶子里面只有一半铀-235了。如果你初始又50公斤的铀-235，那么过10年之后你还有几公斤的铀-235没有衰变呢？

$\hspace{1cm}$设$f(t)$是时间为$t$时你剩下的铀-235，那我们应该有：
$$
f’(t) = -kf(t),其中k为常数
$$
$\hspace{1cm}$所以我们设$f(t) = Ae^{-kt}$，则$f(0) = Ae^0 = A = 50$，所以$f(t) = 50e^{-kt}$。又因为$f(7) = 50e^{-7k} = 25$，所以$-7k = ln(\frac 12) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)$，所以$k = \frac{\ln 2}7$，$f(t) = 50e^{\frac{-t \ln2}7}$。当$t = 10$时，$f(10) = 50e^{\frac{-10 \ln2}7}$。

$\hspace{1cm}$同时我们也可以得到，一般对于这种建模，我们都有$f(t) = f(0)e^{-kt}$，同时$k = \frac{\ln2}{t_{1/2}}$，其中$t_{1 / 2}$表示半衰期时间。

$\hspace{1cm}$和指数增长那一块一样，我们会得出几个有关极限的结论：

• 对数函数在$\infty$附近增长缓慢：

$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\log_b x}{f(x)} = 0,其中f(x)是关于x的多项式,b > 1
$$

• 对数函数在$0$附近增长缓慢：
  $$
  \lim_{x \to 0}f(x)\cdot \log_bx = 0,其中f(x)是关于x的多项式,b > 1
  $$

$\hspace{1cm}$ 当$f(x) = x$时关于上面这个极限的证明：
$$
\lim_{x \to 0}x\cdot \log_bx = \lim_{x \to \infty}\frac 1x \cdot \log_b(\frac 1x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-\log_bx}{x} = 0
$$

8.双曲函数

定义：
$$
sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}2 \ cosh(x) = \frac {e^x + e^{-x}}2 \tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \ csch(x) = \frac1{sinh(x)} \ sech(x) = \frac1{cosh(x)} \ coth(x) = \frac1{tanh(x)}
$$
注意到
$$
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1
$$
如果对其求导，会得到：
$$
\frac d{dx}(sinh(x)) =\frac d{dx}(\frac{e^x - e^{-x}}2) = \frac{e^x + e^{-x}}2 = cosh(x)
$$

$$
\frac d{dx}(cosh(x)) =\frac d{dx}(\frac{e^x + e^{-x}}2) = \frac{e^x - e^{-x}}2 = sinh(x)
$$

这也是其前缀$sin$，$cos$的原因。

不管怎样，你可以通过链式求导或除法法则得到如下结果：
$$
\frac{d}{dx}(tanh(x)) = sech^2(x)\\frac d{dx}(sech(x)) = -sech(x)tanh(x)\ \frac d{dx}(csch(x)) = -csch(x)coth(x) \ \frac{d}{dx}(coth(x)) = -csch^2(x)
$$
注意到它们与三角函数导数之间的关系（事实上，这段公式是我从三角函数那里复制下来再轻微改造得到的）。

顺便说一句，$cosh(x)$的图像就是悬链线的图像，悬链线就是一个固定绳子的两段，在重力场中让它自然垂下，绳子的曲线方程.

9.反函数

函数本质是一个映射。一个元素$x$经过函数$f$的映射后就变成了元素$f(x)$，那么将$f(x)$变回$x$的映射就叫做函数$f$的反函数，记为$f^{-1}$,也就是$f^{-1}(f(x)) = x$。

一个函数$f$如果要有反函数$f^{-1}$，要满足对于每一个$y$，最多只有一个定义域内的$x$使得$f(x) = y$.

对于一个函数$f$，如果$f’(x)$恒大于等于0，且只有有限多个$x$使得$f’(x) = 0$，那么显然$f$存在反函数。同样的，对于一个函数$f$，如果$f’(x)$恒小于等于0，且只有有限多个$x$使得$f’(x) = 0$，那么显然$f$也存在反函数。

如果我们现在已经知道$f(x)$和$f’(x)$，如何求$f^{-1}(x)$的导数呢？

首先如果$y = f^{-1}(x)$，那么
$$
x =f(y) \ \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(f(y)) \ \frac{dx}{dy} = f’(y) \ \frac{dy}{dx} = \frac 1{f’(y)}
$$

所以我们得到了反函数的导数。

特别的，反函数的图像与原函数的图像关于$y = x$对称。

10.再谈导数

导数是一个很强大的工具，所以我们重新来挖掘一下它的潜在价值。

一阶导数$f’(x)$表现的是函数$f$的增减性。$f’(x) > 0$则函数在x上增长，$f’(x) < 0$则函数在x上减少。

二阶导数$f’’(x)$表现得是函数$f$的凹凸性。$f’’(x) > 0$则函数在x处凹面向上，$f’’(x) < 0$则函数在x处凹面向下。函数$f$的凹凸性质改变的临界点叫做函数$f$的拐点。在拐点$x$上，必定有$f’’(x) = 0$.

有一个不证自明的事实。函数$f$的最大值/最小值只会是$f(x)$，其中的$x$满足$f’(x) = 0$或$f’(x)$不存在或$x$是闭区间的端点.

现在我们的任务是求某一个函数的最值。比如说$f(x) = x^2 - 2x +2$，通过配方它有最小值1。但如果我们以导数的视角，你就会先对其求导得到$f’(x) = 2x - 2$，那么$f’(x)$的零点是1。而$f’’(x) = 2 > 0$，所以函数凹面向上，$f(1) = 1$是函数$f$的最小值。

上面这个例子不能体现处导数求极值的优越性，让我们再来看一个栗子。

求函数$f(x) = 5x \sqrt{900 - 6x}$的最大值。

对其求导，得到$f’(x) = \frac{45(100 - x)}{\sqrt{900 - 6x}}$。导数函数的零点为100。导数函数只有这一个零点，说明这一定是最大值或者最小值。让我们再看一下，对于任意的$f’(v)(v < 100)$都有$f’(v) > 0$，对于任意的$f’(w)(w > 100)$都有$f’(w) < 0$。所以$f(100) = 5000 \sqrt{3}$是函数的最大值。

11.一些定理以及推论

• 罗尔定理

  若函数$f$在闭区间$[a,b]$间连续，在开区间$(a,b)$间可导，如果$f(a) = f(b)$，则在开区间$(a,b)$中必定存在一点$c$，满足$f’(c) = 0$.

• 拉格朗日中值定理

  若函数$f$在闭区间$[a,b]$间连续，在开区间$(a,b)$间可导，则在开区间$(a,b)$中必定存在一点$c$，满足$f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。

• 拉格朗日中值定理的推论

  如果一个函数$f$的导函数$f’$对于定义域内的任意$x$满足$f’(x) = 0$，则函数$f$为常数函数。

证明：固定其定义域内一点$s$，设$f(s) = C$。再任取其定义域内一点$t$，因为导函数恒为0，所以$\frac{f(s) - f(t)}{s - t} = 0$，所以$f(s) = f(t) = C$，所以对于定义域内任意一点$t$，都有$f(t) = C$。所以函数$f$为常数函数。

12.线性化

估算$\sqrt{11}$.

这里的方法（线性化）是先将其函数化，将原问题转化为对于函数$f(x) = \sqrt{x}$，求$f(11)$.

然后我们找一个离$11$很近且很好求的$f(x)$，比如$f(9)$。求出$f’(9) = \frac 16$。我们记通过（9，3）的切线为$L$，有$L = \frac 16 x + \frac 32$，则$L(11) = \frac {10} 3$。我们估算出来的值为$\frac{10}3$.

这里我们得到近似公式：
$$
f(x) \approx L(x) = f(a) + f’(a)(x - a) 其中a是你选择的一个离x较近的且好算的值
$$
同时观察可得：

• 如果$f’’$在a和x之间为正，则通过线性化得到的估算是低估。

• 如果$f’’$在a和x之间为负，则通过线性化得到的估算是高估。

  同时我们对于误差也有一个很好的公式：
  $$
  误差 = \frac 12 f’’(c)(x - a)^2，其中c为在x和a之间的某个数。
  $$

13.牛顿法

牛顿法是用来估算函数零点（解方程）的方法。

一图胜千言

其中$x^*$是真正的零点，$x_k$是估算的点，$x_{k + 1}$是更好的估算的点。

牛顿法只在一般情况下适用。在某些特殊情况下牛顿法不适用。

14.洛必达法则

• A. $\frac0 0$或 $\frac{ \pm \infty}{\pm \infty}$形：

  对于极限$\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)}$，如果$g(a) = h(a) = 0$或$g(a) = \pm \infty$,$h(a) = \pm \infty$，那么：

$$
\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to a} \frac{g’(x)}{h’(x)}
$$

• **B. $0 \times \pm \infty$**形：

  对于极限$\lim_{x \to a} {g(x)}{h(x)}$，如果$g(a) =0,h(a) = \pm \infty$，则：
  $$
  \lim_{x \to a} {g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to a} \frac{h(x)}{1 / g(x)}
  $$
  因为$g(a) = 0$，所以$\frac 1{g(a)} = \pm\infty$，此时可以用洛必达法则求解。

• C.$\infty - \infty$形：

  这种形式比较难处理，可以尝试同时乘以除以一个共轭根式，创造一个分母。

  求极限$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x + ln(x)} - \sqrt{x})$。

$$
\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x + ln(x)} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x + ln(x)} + \sqrt{x}}
$$

此时分数线上下的表达式均趋向于$\infty$，可以用洛必达法则求解。

• D.$1 ^ {\pm \infty}，0^0,\infty ^ 0$形：

  这种形式最复杂。例如：
  $$
  求\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}
  $$
  首先我们对其取对数：
  $$
  \lim_{x\to a}\ln(f(x)^{g(x)}) = \lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))
  $$

  这个时候如果该式子是不定式，我们可以用$B$类型对其求极限。如果不是，你需要另外想办法。

  如果你求得了上面这个式子的极限，这时，就有：
  $$
  \lim_{x\to a}\ln(f(x)^{g(x)}) = \lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x)) = L \ \lim _{x \to a}f(x)^{g(x)} = e^L
  $$