初学微分の笔记
微分总结
1.极限，导数，连续性，可导性
\[ \lim_{x \to a}f(x) = L \]
\(\hspace{1cm}\)这个式子叫做函数\(f\)在\(a\)处的双侧极限，表示对于任意的\(\varphi>0\)，可以选取对应的\(\beta > 0\)，使得对于所有满足\(0 < |x - a| < \beta\)的\(x\)，都有\(|f(x) - L| < \varphi\).
\(\hspace{1cm}\)除了双侧极限，我们还有左侧极限和右侧极限。 \[ \lim_{x \to a^-}f(x) = L \]
\(\hspace{1cm}\)这个式子叫做函数\(f\)在\(a\)处的左侧极限，表示对于任意的\(\varphi>0\)，可以选取对应的\(\beta > 0\)，使得对于所有满足\(0 < a - x < \beta\)的\(x\)，都有\(|f(x) - L| < \varphi\).
同时： \[ \lim_{x \to a^+}f(x) = L \]
\(\hspace{1cm}\)这个式子叫做函数\(f\)在\(a\)处的右侧极限，表示对于任意的\(\varphi>0\)，可以选取对应的\(\beta > 0\)，使得对于所有满足\(0 < x - a < \beta\)的\(x\)，都有\(|f(x) - L| < \varphi\).
\(\hspace{1cm}\)极限不一定存在，比如\(f(x) = sin(\frac1x)\)在\(x = 0\)处就没有极限。
三明治定理：
如果对于所有在\(a\)附近的\(x\)都满足\(g(x) \le f(x) \le h(x)\)，且
\[ \lim_{x \to a}g(x) = L = \lim_{x \to a}h(x) \]
\(\hspace{1cm}\)那么有 \[ \lim_{x \to a}f(x) = L \]
连续性
若\(x\)在函数\(f\)的定义域内，函数\(f\)在\(x\)处存在双侧极限，且双侧极限等于\(f(x)\)，则函数\(f\)在\(x\)处连续。
导数
函数\(f\)在\(x\)处的导数\(f'(x)\)定义为： \[ f'(x) = \lim_{h\to x}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} \] 同时我们也可以用\(\frac{dy}{dx}\)来表示函数\(f\)在\(x\)处的导数。其中\(dx\)表示\(x\)变化很小一个范围，\(dy\)表示此时\(y\)对应的变化量。
可导性
函数\(f\)在\(x\)处可导，当且仅当函数\(f\)在\(x\)处连续，且函数\(f\)在\(x\)处的“左导数”和“右导数”相等，其中： \[ 左导数= \lim_{h \to x ^-} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} \]
\[ 右导数 = \lim_{h \to x^+}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} \]
2.用更好的方法求导
加/减法法则：
若\(f(x) = g(x) \pm h(x)\)，则\(f'(x) = g'(x) \pm h'(x)\)
乘法法则： \[ \frac{d}{dx}(uv) = \frac{du}{dx}v + \frac{dv}{dx}u \]
乘积法则的推广 \[ \frac{d}{dx}(uvw) = \frac{du}{dx}vw + \frac{dv}{dx}uw + \frac{dw}{dx}uv \]
除法法则：
若\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)，则有： \[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \]
链式求导法则：
若\(u\)是\(v\)的函数，\(v\)是\(s\)的函数，则有： \[ \frac{du}{ds} = \frac{du}{dv}\frac{dv}{ds} \]
3.三角函数的导数与极限
\(\hspace{1cm}\)首先有一个基本的定理（这里暂且不证）： \[ \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1 \] \(\hspace{1cm}\)然后先看一个极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{cos^2(x) - 1}{x \cdot (cos(x) + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-sin^2(x)}{x \cdot (cos(x) + 1)} \\= \lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}x \times (-sin(x)) \times\frac{1}{cos(x) + 1} = (1) \times (0)\times (\frac12) = 0 \]
\(\hspace{1cm}\)接下来求\(f(x) = sin(x)\)的导数： \[ f'(x) = \lim_{h \to x} \frac{sin(x + h) - sin(x)}{h} = \lim_{h \to x} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h} \\ = \lim_{h \to x} \frac{sin(x) \cdot (cos(h) - 1)}h + \lim_{h \to x}\frac{sin(h)}h \cdot cos(x) \\=\lim_{h\to x}\frac{cos(x) - 1}{h} \times sin(x ) + (1)\cdot cos(x) = (0 )\times sin(x) + cos(x) \times(1) = cos(x) \] \(\hspace{1cm}\)同理，我们可以得到\(f(x) = cos(x)\)的导数： \[ f'(x) = -\sin(x) \] \(\hspace{1cm}\)根据这两个公式，我们可以通过乘积法则和除法法则求出\(f(x) = tan(x)，f(x) = csc(x)\),\(f(x) = sec(x),f(x) = cot(x)\)的导数. \[ \frac d{dx}(tan(x)) = sec^2(x)\\\frac d{dx}(sec(x)) = sec(x)tan(x)\\ \frac d{dx}(csc(x)) = -csc(x)cot(x) \\ \frac{d}{dx}(cot(x)) = -csc^2(x) \]
4.关于e
\(\hspace{1cm}\)自然常数\(e\)的定义： \[ e = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac1n)^n \] \(\hspace{1cm}\)这样做会有一个风险，那就是这个极限不一定存在。现在我们暂且不管。
\(\hspace{1cm}\)对于\(e\)的收敛性证明，我们证一个\(e \le 4\)即可。即我们尝试证明： \[ (1 + \frac1n)^n \le 4 \] \(\hspace{1cm}\)即要证明： \[ \sqrt[n]{\frac14} \leq \frac{n}{n + 1} \] \(\hspace{1cm}\)根据均值不等式，我们有 \[ \sqrt[n]{\frac14} = \sqrt[n]{\frac12 \times \frac{1}{2} \times 1^{n - 2}} \le \frac{n - 1}n \le \frac n{n + 1} \] \(\hspace{1cm}\)因此得证\(e \le 4\).
\(\hspace{1cm}\)然后我们来求一个极限： \[ \lim _{n \to \infty}(1 + \frac rn)^n \] \(\hspace{1cm}\)令\(k = \frac nr\)，则\(n = rk\)，所以有： \[ \lim _{n \to \infty}(1 + \frac rn)^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac1k)^{rk} = \lim_{n \to \infty}((1 + \frac1k)^k)^r = e^r \]
5.对数函数和指数函数的导数
\(\hspace{1cm}\)先来求对数函数的导数，设\(f(x) = \log_bx\)，则有： \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(x + h) - \log_bx} h = \lim_{h \to 0} \frac{\log_b(\frac{x + h}{x})}h = \lim_{h \to 0}\log_b(1 + \frac hx) ^ \frac1h = \lim_{h \to \infty} \log_b(1 + \frac 1h \times \frac1x )^h = \log_b e^\frac1x = \frac{1}{x \times ln(b)} \]
\(\hspace{1cm}\)再来看指数函数的导数。设\(y = b^x\)，则\(x = \log_by\)，所以 \[ \frac{dx}{dy} = \frac1{y \times ln(b)} \] \(\hspace{1cm}\)则： \[ \frac{dy}{dx} = yln(b) = b^xln(b) \]
6.对\(y = f(x)^{g(x)}\)求导
\(\hspace{1cm}\)一个例子胜千言。比如我们现在要对\(y = x^x\)求导。
\(\hspace{1cm}\)有： \[ ln(y) = xln(x) \\ \frac d{dx} ln(y) = \frac d{dx} (x ln(x)) \\ \frac d{dy}(ln(y)) \times \frac{dy}{dx} = ln(x) + 1 \\ \frac1y \times \frac{dy}{dx} = ln(x) + 1 \\ \frac{dy}{dx} = (ln(x) + 1) \times x^x \] \(\hspace{1cm}\)我们再举一个例子，这个例子推出的结论也是很重要的一个结论。我们现在要求\(y = x^a\)的导数。
\(\hspace{1cm}\)有： \[ ln(y) = aln(x) \\ \frac d{dx}(ln(y)) = \frac {d}{dx}(aln(x)) \\ \frac d{dy}(ln(y)) \times \frac{dy}{dx} = \frac ax \\ \frac{dy}{dx} = \frac ax \times y = \frac ax \times x^a = ax^{a - 1} \]
7.指数增长和指数衰变
- 指数增长
\(\hspace{1cm}\)假设\(y = Ae^{kx}\)，则\(\frac{dy}{dx} = Ake^{kx}\)。这说明该函数的增长速度和函数值成正比。
\(\hspace{1cm}\)这很符合现实中的一些情况。一个生物种群，它扩张繁殖的速度和这个生物种群内生物的多少成正比。
\(\hspace{1cm}\)让我们来解决一个问题。一个兔子种群现在有1000只兔子，而3年后增长到64000只，那么4年后会有多少兔子呢？
\(\hspace{1cm}\)设\(f(x)\)表示兔子种群在第\(x\)年有\(f(x)\)只兔子，那么我们有\(f(0) = 1000\),\(f(3) = 64000\).
\(\hspace{1cm}\)根据指数增长的原则，我们设\(f(x) = Ae^{kx}\),则\(f(0) = Ae^0\),则\(A = f(0)\).
\(\hspace{1cm}\)所以我们有\(f(x) = f(0)e^{kx} = 1000e^{kx}\),则\(f(3) = 1000e^{3k} = 64000\)，所以\(e^{3k} = 64\)，\(3k = ln(64)\)，\(k = \frac{ln(64)}3 = \ln(4)\)，所以\(f(x) = 1000e^{\ln(4)x}\)。将\(x = 4\)代入，有$f(4) = 1000e^{(4) } = 1000e ^ {(256)} = 256000 $.所以4年后有256000只兔子。
\(\hspace{1cm}\)同时我们也可以得到，一般对于这种建模，我们都有\(f(t) = f(0)e^{kt}\)，
\(\hspace{1cm}\)可以从上述例子中看出，指数函数增长得很快。所以我们推测出一下定理（可用洛必达法则证明）： \[ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{b^x} = 0,其中f(x)是关于x的多项式，b > 1 \]
- 指数衰减
\(\hspace{1cm}\)指数衰减适用于给原子衰变建模。因为原子越多，其衰变速度越快。换句话说，衰变速度与原子个数成正比。
\(\hspace{1cm}\)现在假设你有一瓶铀—235，它的半衰期是7年，也就是说过7年你打开这个瓶子，你会发现这个瓶子里面只有一半铀-235了。如果你初始又50公斤的铀-235，那么过10年之后你还有几公斤的铀-235没有衰变呢？
\(\hspace{1cm}\)设\(f(t)\)是时间为\(t\)时你剩下的铀-235，那我们应该有： \[ f'(t) = -kf(t),其中k为常数 \] \(\hspace{1cm}\)所以我们设\(f(t) = Ae^{-kt}\)，则\(f(0) = Ae^0 = A = 50\)，所以\(f(t) = 50e^{-kt}\)。又因为\(f(7) = 50e^{-7k} = 25\)，所以\(-7k = ln(\frac 12) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)\)，所以\(k = \frac{\ln 2}7\)，\(f(t) = 50e^{\frac{-t \ln2}7}\)。当\(t = 10\)时，\(f(10) = 50e^{\frac{-10 \ln2}7}\)。
\(\hspace{1cm}\)同时我们也可以得到，一般对于这种建模，我们都有\(f(t) = f(0)e^{-kt}\)，同时\(k = \frac{\ln2}{t_{1/2}}\)，其中\(t_{1 / 2}\)表示半衰期时间。
\(\hspace{1cm}\)和指数增长那一块一样，我们会得出几个有关极限的结论：
- 对数函数在\(\infty\)附近增长缓慢：
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\log_b x}{f(x)} = 0,其中f(x)是关于x的多项式,b > 1 \]
- 对数函数在\(0\)附近增长缓慢： \[ \lim_{x \to 0}f(x)\cdot \log_bx = 0,其中f(x)是关于x的多项式,b > 1 \]
\(\hspace{1cm}\) 当\(f(x) = x\)时关于上面这个极限的证明： \[ \lim_{x \to 0}x\cdot \log_bx = \lim_{x \to \infty}\frac 1x \cdot \log_b(\frac 1x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-\log_bx}{x} = 0 \]
8.双曲函数
定义： \[ sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}2 \\ cosh(x) = \frac {e^x + e^{-x}}2 \\tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ csch(x) = \frac1{sinh(x)} \\ sech(x) = \frac1{cosh(x)} \\ coth(x) = \frac1{tanh(x)} \] 注意到 \[ cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 \] 如果对其求导，会得到： \[ \frac d{dx}(sinh(x)) =\frac d{dx}(\frac{e^x - e^{-x}}2) = \frac{e^x + e^{-x}}2 = cosh(x) \]
\[ \frac d{dx}(cosh(x)) =\frac d{dx}(\frac{e^x + e^{-x}}2) = \frac{e^x - e^{-x}}2 = sinh(x) \]
这也是其前缀\(sin\)，\(cos\)的原因。
不管怎样，你可以通过链式求导或除法法则得到如下结果： \[ \frac{d}{dx}(tanh(x)) = sech^2(x)\\\frac d{dx}(sech(x)) = -sech(x)tanh(x)\\ \frac d{dx}(csch(x)) = -csch(x)coth(x) \\ \frac{d}{dx}(coth(x)) = -csch^2(x) \] 注意到它们与三角函数导数之间的关系（事实上，这段公式是我从三角函数那里复制下来再轻微改造得到的）。
顺便说一句，\(cosh(x)\)的图像就是悬链线的图像，悬链线就是一个固定绳子的两段，在重力场中让它自然垂下，绳子的曲线方程.
9.反函数
函数本质是一个映射。一个元素\(x\)经过函数\(f\)的映射后就变成了元素\(f(x)\)，那么将\(f(x)\)变回\(x\)的映射就叫做函数\(f\)的反函数，记为\(f^{-1}\),也就是\(f^{-1}(f(x)) = x\)。
一个函数\(f\)如果要有反函数\(f^{-1}\)，要满足对于每一个\(y\)，最多只有一个定义域内的\(x\)使得\(f(x) = y\).
对于一个函数\(f\)，如果\(f'(x)\)恒大于等于0，且只有有限多个\(x\)使得\(f'(x) = 0\)，那么显然\(f\)存在反函数。同样的，对于一个函数\(f\)，如果\(f'(x)\)恒小于等于0，且只有有限多个\(x\)使得\(f'(x) = 0\)，那么显然\(f\)也存在反函数。
如果我们现在已经知道\(f(x)\)和\(f'(x)\)，如何求\(f^{-1}(x)\)的导数呢？
首先如果\(y = f^{-1}(x)\)，那么 \[ x =f(y) \\ \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(f(y)) \\ \frac{dx}{dy} = f'(y) \\ \frac{dy}{dx} = \frac 1{f'(y)} \]
所以我们得到了反函数的导数。
特别的，反函数的图像与原函数的图像关于\(y = x\)对称。
10.再谈导数
导数是一个很强大的工具，所以我们重新来挖掘一下它的潜在价值。
一阶导数\(f'(x)\)表现的是函数\(f\)的增减性。\(f'(x) > 0\)则函数在x上增长，\(f'(x) < 0\)则函数在x上减少。
二阶导数\(f''(x)\)表现得是函数\(f\)的凹凸性。\(f''(x) > 0\)则函数在x处凹面向上，\(f''(x) < 0\)则函数在x处凹面向下。函数\(f\)的凹凸性质改变的临界点叫做函数\(f\)的拐点。在拐点\(x\)上，必定有\(f''(x) = 0\).
有一个不证自明的事实。函数\(f\)的最大值/最小值只会是\(f(x)\)，其中的\(x\)满足\(f'(x) = 0\)或\(f'(x)\)不存在或\(x\)是闭区间的端点.
现在我们的任务是求某一个函数的最值。比如说\(f(x) = x^2 - 2x +2\)，通过配方它有最小值1。但如果我们以导数的视角，你就会先对其求导得到\(f'(x) = 2x - 2\)，那么\(f'(x)\)的零点是1。而\(f''(x) = 2 > 0\)，所以函数凹面向上，\(f(1) = 1\)是函数\(f\)的最小值。
上面这个例子不能体现处导数求极值的优越性，让我们再来看一个栗子。
求函数\(f(x) = 5x \sqrt{900 - 6x}\)的最大值。
对其求导，得到\(f'(x) = \frac{45(100 - x)}{\sqrt{900 - 6x}}\)。导数函数的零点为100。导数函数只有这一个零点，说明这一定是最大值或者最小值。让我们再看一下，对于任意的\(f'(v)(v < 100)\)都有\(f'(v) > 0\)，对于任意的\(f'(w)(w > 100)\)都有\(f'(w) < 0\)。所以\(f(100) = 5000 \sqrt{3}\)是函数的最大值。
11.一些定理以及推论
罗尔定理
若函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)间连续，在开区间\((a,b)\)间可导，如果\(f(a) = f(b)\)，则在开区间\((a,b)\)中必定存在一点\(c\)，满足\(f'(c) = 0\).
拉格朗日中值定理
若函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)间连续，在开区间\((a,b)\)间可导，则在开区间\((a,b)\)中必定存在一点\(c\)，满足\(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)。
拉格朗日中值定理的推论
如果一个函数\(f\)的导函数\(f'\)对于定义域内的任意\(x\)满足\(f'(x) = 0\)，则函数\(f\)为常数函数。
证明：固定其定义域内一点\(s\)，设\(f(s) = C\)。再任取其定义域内一点\(t\)，因为导函数恒为0，所以\(\frac{f(s) - f(t)}{s - t} = 0\)，所以\(f(s) = f(t) = C\)，所以对于定义域内任意一点\(t\)，都有\(f(t) = C\)。所以函数\(f\)为常数函数。
12.线性化
估算\(\sqrt{11}\).
这里的方法（线性化）是先将其函数化，将原问题转化为对于函数\(f(x) = \sqrt{x}\)，求\(f(11)\).
然后我们找一个离\(11\)很近且很好求的\(f(x)\)，比如\(f(9)\)。求出\(f'(9) = \frac 16\)。我们记通过（9，3）的切线为\(L\)，有\(L = \frac 16 x + \frac 32\)，则\(L(11) = \frac {10} 3\)。我们估算出来的值为\(\frac{10}3\).
这里我们得到近似公式： \[ f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) 其中a是你选择的一个离x较近的且好算的值 \] 同时观察可得：
如果\(f''\)在a和x之间为正，则通过线性化得到的估算是低估。
如果\(f''\)在a和x之间为负，则通过线性化得到的估算是高估。
同时我们对于误差也有一个很好的公式： \[ 误差 = \frac 12 f''(c)(x - a)^2，其中c为在x和a之间的某个数。 \]
13.牛顿法
牛顿法是用来估算函数零点（解方程）的方法。
一图胜千言
其中\(x^*\)是真正的零点，\(x_k\)是估算的点，\(x_{k + 1}\)是更好的估算的点。
牛顿法只在一般情况下适用。在某些特殊情况下牛顿法不适用。
14.洛必达法则
A. \(\frac0 0\)或 \(\frac{ \pm \infty}{\pm \infty}\)形：
对于极限\(\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)}\)，如果\(g(a) = h(a) = 0\)或\(g(a) = \pm \infty\),\(h(a) = \pm \infty\)，那么：
\[ \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to a} \frac{g'(x)}{h'(x)} \]
B. \(0 \times \pm \infty\)形：
对于极限\(\lim_{x \to a} {g(x)}{h(x)}\)，如果\(g(a) =0,h(a) = \pm \infty\)，则： \[ \lim_{x \to a} {g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to a} \frac{h(x)}{1 / g(x)} \] 因为\(g(a) = 0\)，所以\(\frac 1{g(a)} = \pm\infty\)，此时可以用洛必达法则求解。
C.\(\infty - \infty\)形：
这种形式比较难处理，可以尝试同时乘以除以一个共轭根式，创造一个分母。
求极限\(\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x + ln(x)} - \sqrt{x})\)。
\[ \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x + ln(x)} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x + ln(x)} + \sqrt{x}} \]
此时分数线上下的表达式均趋向于\(\infty\)，可以用洛必达法则求解。
D.\(1 ^ {\pm \infty}，0^0,\infty ^ 0\)形：
这种形式最复杂。例如： \[ 求\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} \] 首先我们对其取对数： \[ \lim_{x\to a}\ln(f(x)^{g(x)}) = \lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x)) \]
这个时候如果该式子是不定式，我们可以用\(B\)类型对其求极限。如果不是，你需要另外想办法。
如果你求得了上面这个式子的极限，这时，就有： \[ \lim_{x\to a}\ln(f(x)^{g(x)}) = \lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x)) = L \\ \lim _{x \to a}f(x)^{g(x)} = e^L \]