一个经典期望问题的分治想法

发表于 更新于

  • 问题： 在一条长度为1的线段上随机撒两个点$A$,$B$, 求线段$AB$的期望长度

  • 解：设在一条长度为1的线段上随机撒的两个点$A$,$B$所截得的线段期望长度为$x$

    ​ 然后将这条长度为1的线段均分成左右两段：

    • 若$A,B$两点都在左半部分，那么发生这种情况的概率为0.25，期望长度为$\frac 12 x$

    • 若$A,B$两点都在右半部分，那么发生这种情况的概率为0.25，期望长度为$\frac 12 x$

    • 若$A,B$两点横跨线段中点，那么发生这种情况的概率为0.5

      ​ 设线段中点为$M$，那么$E(|AB|) = E(|AM|) + E(|MB|)$ $= 0.25 + 0.25 = 0.5$

      ​ 所以这种情况下期望长度为0.5

    所以，根据期望的定义，我们可以得到$x = 0.25 \times \frac 12 x + 0.25 \times $ $\frac 12 x + 0.5\times 0.5$

    解得：$x = \frac 13$